Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

После того, как я сделал несколько калькуляторов для перевода между разными системами счисления — вот список от первой до последней версии, от самого простого к сложному: Перевод числа в другие системы счисления, Перевод из десятичной системы счисления, Перевод из одной системы счисления в другую — в комментариях стали периодически спрашивать — а что же, мол, дробные числа, как же их переводить? И когда спросили больше трех раз, я таки решил изучить этот вопрос.

Результатом стал калькулятор, который вы видите ниже, он умеет переводить и дробные числа в том числе. Как водится, для любознательных под калькулятором немного теории.

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Исходное число

Исходное основание

Основание системы счисления исходного числа

Основание результата

Основание системы счисления переведенного числа

Точность вычисления

Знаков после запятой: 8

Рассчитать

Переведенное число

 

Исходное число в десятичной системе счисления

 

Переведенное число в десятичной системе счисления

 

Погрешность перевода (в десятичном выражении)

 

Максимальная погрешность перевода (в десятичном выражении)

 

 Ссылка  Сохранить  Виджет

Теперь теория. Я, честно говоря, думал, что вопрос довольно сложный, но при ближайшем рассмотрении все оказалось проще простого. Надо было только держать в голове тот факт, что речь идет о позиционных системах счисления.
В чем тут суть? Рассмотрим на примере десятичного числа 6.125. Это дробное число в десятичной системе счисления представляется так:

Все просто, не так ли? Та же самая простота сохраняется и при записи дробного числа в любой другой системе счисления. Возьмем, например, горячо любимую каждым программистом двоичную систему и число, например, 110.001. Эта запись есть не что иное как

Да-да, число для примера было выбрано не просто так. То есть, 110.001 в двоичной системе есть 6.125 в десятичной. Принцип, я думаю, ясен.

Есть только одно но — все-таки из-за того, что здесь участвую дроби с разными знаменателями, не всегда одно и тоже число можно одинаково точно выразить в разных системах счисления. Что я имею в виду?

Возьмем, например, число . Отлично смотрится в десятичной системе счисления. Но вот если попробовать получить запись этого числа в двоичной системе счисления — будут проблемы. Попробуем, пока не устанем

Продолжать можно еще довольно долго, но уже сейчас видно, что 0.8 в десятичной системе это 0.11001100...(дальше очень много цифр) в двоичной. Если честно, то это периодическое число с перидом 1100, так что мы никогда не сможем выразить его точно в двоичной системе счисления. 110011001100... будет продолжаться до бесконечности.

Поэтому перевод дробного числа из одной системы счисления в другую чаще всего дает погрешность. Погрешность эта зависит от того, сколько разрядов мы используем для записи дробной части переведенного числа. Возьмем пример с числом 0.8 и используем для записи его двоичного представления шесть разрядов после запятой — 0.110011. Полученное число вовсе не 0.8, а 0.796875, разница при этом составляет 0.003125. Это и есть наша погрешность перевода десятичного числа 0.8 в двоичный вид при использовании шести разрядов после запятой.

Вес крайнего правого разряда (самого младшего разряда) называется разрешением (resolution) или точностью (precision), и определяет наименьшее неравное нулю число, которое может быть представлено данным числом разрядов. Для нашего примера это . При этом максимально возможная погрешность представления числа, как нетрудно сообразить, не превышает половины этого веса, или 0.0078125. Так что для 0.8 мы имеем еще и не самую плохую погрешность.

Вот, собственно, и все.