Онлайн калькулятор: Метод неопределенных коэффициентов

Следующий калькулятор раскладывает полиномиальную дробь на сумму более простых дробей методом неопределенных коэффициентов. Числитель дроби - многочлен, который задается набором коэффициентов (коэффициенты задаются через пробел, начиная с коэффициента старшей степени). Знаменатель представляет собой произведение многочленов 1-й или 2-й степени, возведенных в некоторую степень (>=1). Многочлены-множители знаменателя задаются в виде таблицы коэффициентов, аналогично многочлену в числителе.

Разложение дроби на части

Числитель

Разделенные пробелом коэффициенты многочлена.

Полиномиальные множители знаменателя

	Множитель	Степень

Детали

Точность вычисления

Точно

Округленно

Задача

Решение

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Еще один калькулятор, вычисляет то же самое, но он позволяет задать знаменатель в виде многочлена и сам пытается найти его разложение на множители. Если при разложении знаменателя окажется неразлагаемый множитель выше 2-й степени, то метод неопределенных коэффициентов не сработает.

Разложение дроби на части 2

Числитель

Разделенные пробелом коэффициенты многочлена.

Знаменатель

Коэффициенты многочлена, разделенные пробелом.

Детали

Точность вычисления

Точно

Округленно

Задача

Решение

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов для разложения полиномиальной дроби P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - полиномы одно переменной в общем случае сводится к такой последовательности шагов:

Преобразуем знаменатель полинома Q(X) к моническому виду (старший коэффициент =1) для этого поделим P (x) и Q (x) на старший коэффициент Q (x)

$\frac{P_1(x)}{Q_1(x)} = \frac{P(x)/lc(Q(x)}{Q(x)/lc(Q(x))}$

Если степень P₁(x) выше или равна степени Q₁(x), выполним деление полиномов для нахождения общей части и остатка от деления (новый числитель) P₂(x), степень которого меньше, чем степень Q₁(x):

$\frac{P_1(x)}{Q_1(x)} = quot(P_1(x),Q_1(x)) + \frac{P_2(x)}{Q_1(x)}$ , где $P_2(x)=\frac{rem(P_1(x),Q_1(x))}{Q_1(x)}$

находим разложение знаменателя как l множителей первой степени для вещественных корней Q₁(x) и n квадратичных множителей для комплексных корней Q₁(x):

$Q_1(x) = (x-x_1)^{k_1}\cdots(x-x_l)^{k_l}(x^2+p_1x+q_1)^{m_1}\cdots(x^2+p_nx+q_n)^{m_n}$

после этого переходим непосредственно к разложению методом неопределенных коэффициентов в виде:

$\frac{P_2(x)}{Q_1(x)} = \sum_{j=1}^l\sum_{k=1}^{k_j} \frac{a_{jk}}{(x-x_j)^k} + \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^{m_j} \frac{b_{jk}x+c_{jk}}{(x^2+p_jx+q_j)^k}$ , где a_jk, b_jk,c_jk - вещественные числа. ¹

приводим правую часть к общему знаменателю, путем умножения числителей дробей на недостающие полиномиальные множители
выполняем умножение полиномов в числителях, группируем выражения с неизвестными a_jk, b_jk,c_jk относительно x различных степеней
приравниваем каждый коэффициент полинома P₂(x) к линейному выражению с неизвестными a_jk, b_jk,c_jk соответствующими той же степени x
Создаем и решаем систему уравнений, находя все a_jk, b_jk,c_jk

Эти шаги будут отображены в деталях со ссылками на простейшие действия, если в калькуляторе включить галочку "Детали".

В.А.Зорич Математический анализ том.1 ↩

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Метод неопределенных коэффициентов

Эта страница существует благодаря следующим персонам

Anton

Разложение дроби на части

Полиномиальные множители знаменателя

Решение

Разложение дроби на части 2

Метод неопределенных коэффициентов

Похожие калькуляторы

Комментарии

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Разложение дроби на части

Решение

Разложение дроби на части 2

Метод неопределенных коэффициентов

Похожие калькуляторы

Комментарии

Поделиться этой страницей