homechevron_rightРаботаchevron_rightНавигация

Радиус Земли по широте (WGS 84)

Этот калькулятор определяет радиус Земли на заданной широте, используя референц-эллипсоид WGS 84.

Калькулятор ниже определяет радиус Земли на заданной широте. В реальности, конечно, он рассчитывает радиус референц-эллипсоида WGS 84 на заданной широте, и если вы хотите освежить в голове теорию, вы можете прочитать текст под калькулятором.

PLANETCALC, Радиус Земли по широте (WGS 84)

Радиус Земли по широте (WGS 84)

°

Знаков после запятой: 3
Радиус, км
 

Радиус Земли

Поскольку Земля сплющена у полюсов и выпукла у экватора, геодезия моделирует форму Земли сплющенным сфероидом. Сплющенный сфероид, или сплющенный эллипсоид - это эллипсоид вращения, полученный вращением эллипсоида вокруг его короткой оси. Это правильная геометрическая форма, которая почти точно отражает форму Земли. Сфероид, описывающий форму Земли или другого небесного тела называется референц-эллипсоидом. Референц-эллипсоид Земли обычно называют Земной эллипсоид.

Конечно, поверхность Земли имеет неправильную форму. И более точным, чем референц-эллипсоид, приближением этой формы является геоид. Геоид являлся и является важной концепцией геодезии и геофизики уже более двух сотен лет, но работать с ним гораздо труднее, чем с референц-эллипсоидом, так как он тоже имеет неправильную поверхность, зависящую от распределения земных масс.

Собственно, из-за относительной простоты, референц-эллипсоиды и используются для расчета геодезических сетей и определения координат точек в виде широты, долготы и высоты над уровнем моря. В настоящее время наиболее часто используемым референц-эллипсоидом, использующемся также в глобальной системе позиционирования (Global Positioning System - GPS), является референц-эллипсоид WGS 84.

Эллипсоид вращения можно описать всего двумя параметрами. В геодезии используется несколько параметров, но все они эквивалентны или выводятся друг из друга:

  • Экваториальный радиус a (или большая полуось), и полярный радиус b (или малая полуось);
  • a и первый эксцентриситет e;
  • a и геометрическое (полярное) сжатие f.

WGS 84 определяет следующие параметры эллипсоида:
Большая полуось a = 6378137.0 метров
Малая полуось b = 6356752.3142 метра

Точка на поверхности эллипсоида может быть задана параметрическим уравнением кривой
(x,y)=(a  \, cos(t), b \, sin(t))

Радиус эллипсоида в данной точке можно найти через теорему Пифагора
R(t)^2 = a^2 cos^2(t) + b^2 sin^2(t)

Тут есть небольшая проблема, которая заключается в том, что угол t из формулы выше является геоцентрической широтой, а координаты точки, и в частности широта, являются геодезическими, зависящими от используемой системы координат (WGS 84), are geodetic. Геодезическая широта определяется углом между плоскостью экватора и нормалью к поверхности эллипсоида, и геоцентрическая широта - углом между плоскостью экватора и линии, соединяющей точку на поверхности эллипсоида с центром эллипсоида (см. картинку).

Геоцентрическая и геодезическая широта
Геоцентрическая и геодезическая широта

Таким образом, чтобы найти радиус по координатам точки, нам надо от геодезической широты \alpha перейти к геоцентрической широте \beta.

Для начала найдем тангенс касательной к нашей кривой, получив его дифференцируя уравнение кривой.
(x,y)'=(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}) = ( -a  \, sin(t), b \, cos(t))

Это касательный вектор к нашей кривой, идущий вдоль линии T на рисунке.

Мы можем повернуть его на 90 градусов (x,y) => (y, -x) и получить нормаль (b \, cos(t), a  \, sin(t)), которая указывает вдоль линии N.

Параметр t в выражении выше - это наша \alpha. Наклон нормали - это тангенс угла \beta. Таким образом
tan(\beta)=\frac{a  \, sin(\alpha)}{b \, cos(\alpha)}=\frac{a}{b}tan(\alpha)
или
tan(\alpha)=\frac{b}{a}tan(\beta)

Используя соотношение между тангенсом и косинусом
1+tan^2(\alpha)=\frac{1}{cos^2(\alpha)} => cos^2(\alpha)=\frac{1}{1+tan^2(\alpha)}
и между тангенсом и синусом
1+cotan^2(\alpha)=\frac{1}{sin^2(\alpha)} => sin^2(\alpha)=\frac{1}{1+\frac{1}{tan^2(\alpha)}}=\frac{tan^2(\alpha)}{1+tan^2(\alpha)},
мы можем переписать формулу для радиуса как
R^2 = a^2 \frac{1}{1+tan^2(\alpha)} + b^2 \frac{1}{1+\frac{1}{tan^2(\alpha)}} = \frac{a^2}{1+tan^2(\alpha)} + b^2 \frac{tan^2(\alpha)}{1+tan^2(\alpha)}
и заменить тангенс \alpha тангенсом \betaR^2 = \frac{a^2}{1+\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)} + b^2\frac{\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)}{1+\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)}=\frac{a^4+b^4tan^2(\beta)}{a^2+b^2tan^2(\beta)}

Затем, немного упростив, мы получим следующую формулу
R^2 =\frac{a^4+b^4tan^2(\beta)}{a^2+b^2tan^2(\beta)} = \frac{a^4cos^2(\beta)+b^4sin^2(\beta)}{a^2cos^2(\beta)+b^2sin^2(\beta)}= \frac{ (a^2cos(\beta))^2+(b^2sin(\beta))^2}{(a\,cos(\beta))^2+(b\,sin(\beta))^2}

И, наконец, формулу, приведенную в википедии

R =\sqrt{\frac{ (a^2cos(\beta))^2+(b^2sin(\beta))^2}{(a\,cos(\beta))^2+(b\,sin(\beta))^2}}

Калькулятор выше как раз и использует эту формулу.

Комментарии