homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightГеометрия

Теорема Байеса

Этот онлайн калькулятор рассчитывает апостериорные вероятности событий в соответствии с теоремой Байеса

Этот онлайн калькулятор рассчитывает апостериорные вероятности событий по теореме Байеса. Его можно использовать для решения задач теории вероятности на теорему Байеса. Для этого потребуется задать дерево априорных вероятностей. Немного теории, а также примеры того, как задавать дерево вероятностей для различных задач вы можете найти под калькулятором.

PLANETCALC, Теорема Байеса

Теорема Байеса

Таблица вероятностей

ИдентификаторИдентификатор родителяНазваниеЗначение вероятности
Размер страницы:

Дерево вероятностей
 
Апостериорные вероятности
Знаков после запятой: 4

Немного теории

Приведем здесь некоторые формулы и определения.

Определение: Условная вероятность — вероятность наступления события А при условии, что событие В уже произошло, определяется как P(A/B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}, если P(B)>0

Определение: Два события независимы если вероятность появления одного события не меняет вероятности появления другого события P(A \cap B)=P(A) P(B).

Определение: события называются возможными, если вероятность их возникновения отлична от нуля P(A) \not= 0 \not= P(B)

Определение: Два события называются взаимоисключающими, если они возможны и не могут произойти одновременно A \cap B= \emptyset

Теорема: Два возможных взаимоисключающих события всегда зависимы (то есть не являются независимыми событиями).

Теорема: Два возможных независимых события не являются взаимоисключающими.

Определение: Пусть S пространство событий и пусть \mathcal P = \{A_i\}_{i=1}^{m} некий набор событий из пространства S. Набор событий \mathcal P называется разбиением пространства S, если эти события исчерпывающи (то есть представляют все множество возможных событий из S) и попарно несовместны, т.е
S=\bigcup_{i=1}^{m} A_i \\ A_i \cap A_j = \emptyset, i \not= j

Теорема: Если события \{B_i\}_{i=1}^{m} представляют собой разбиение пространства событий S и P(B_i) \not= 0 для i = 1, 2, ...,m, то для любого события A из S
P(A)=\sum_{i=1}^{m} P(B_i)P(A/B_i)

Теорема: Если события \{B_i\}_{i=1}^{m} представляют собой разбиение пространства событий S и P(B_i) \not= 0 для i = 1, 2, ...,m, то для любого события A из S, такого что P(A) \not= 0,
P(B_{k}/A)=\frac{P(B_{k}) P(A/B_{k})}{\sum_{i=1}^{m} P(B_i)P(A/B_i)}

Эта и есть Теорема Байеса. Вероятность P(B_{k}) называется априорная вероятность, вероятность P(B_{k}/A) называется апостериорная вероятность.

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

Приведем здесь пример из википедии, называемый парадоксом Байеса:

Пример

Предположим, при рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна 0,9, вероятность принять здорового человека за больного равна 0,01. Доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна 0,001. Найти вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.

Обозначим через Б — событие, что человек больной, «Б» — событие, что обследование показало, что человек болен, а через З — событие, что человек здоров. Тогда заданные условия переписываются следующим образом:

P(«Б» | Б) = 0,9;
Р(«Б» | З)= 0,01;
Р(Б) = 0,001, значит P(З) = 0,999.
Вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным равна условной вероятности: Р(З | «Б»).

Чтобы её найти, вычислим сначала полную вероятность признания больным: Р(«Б») = 0,999 × 0,01 + 0,001 × 0,9 = 1,089 %.

Вероятность «здоров» при диагнозе «болен»: Р(З | «Б») = 0,999 × 0,01 / (0,999 × 0,01 + 0,001 × 0,9)= 91,7 %.

Таким образом, 91,7 % людей, у которых обследование показало результат «болен», на самом деле здоровые люди. Такой результат возникает по причине того, что вероятность ложноположительного результата хоть и мала, но на порядок больше вероятности обнаружить больного в произвольной группе людей. Туберкулез — редкое явление, поэтому и возникает такой парадокс Байеса. При возникновении такого результата лучше всего сделать повторное рентгеновское обследование.

Как использовать калькулятор:

  1. Выбрать данные по умолчанию в таблице и удалить их используя иконку "корзины" в шапке таблицы.
  2. Добавить древовидную диаграмму априорных вероятностей событий.

После этого калькулятор рассчитает все апостериорные вероятности и выведет их в таблицу. Ниже пример того, как заполнить калькулятор, чтобы определить вероятность того, что человек «здоров» при диагнозе «болен».

Показать

Комментарии