Онлайн калькулятор: Решение системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Для решения системы уравнений вида
$\left\{{ax+by=c\atop a_1x+b_1y=c_1$
существуют общие формулы
$x=\frac{b_1c-bc_1}{ab_1-a_1b}$ ,
$y=\frac{ac_1-a_1c}{ab_1-a_1b}$
Эти формулы легко запомнить, если ввести понятие определителя или детерминанта второго порядка, как
$\left|\begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right| = ps-rq$
Тогда решение уравнений можно представить в виде
$x=\frac{\left|\begin{matrix} c & b \\ c_1 & b_1 \end{matrix} \right|}{\left|\begin{matrix} a & b \\ a_1 & b_1 \end{matrix} \right|}\\y=\frac{\left|\begin{matrix} a & c \\ a_1 & c_1 \end{matrix} \right|}{\left|\begin{matrix} a & b \\ a_1 & b_1 \end{matrix} \right|}$
т.е. каждое из неизвестных равно дроби, знаменатель которой есть определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, а числитель получается из этого определителя заменой коэффициентов при соответствующем неизвестном на свободные члены.

Решение системы сводится к трем случаям

Коэффициенты уравнений непропорциональны
$\frac{a}{a_1}<>\frac{b}{b_1}$
тогда система уравнений имеет единственное решение соответствующее формулам выше
Коэффициенты уравнений пропорциональны, но свободные члены непропорциональны
$\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}<>\frac{c}{c_1}$
тогда система уравнений не имеет решений, потому что уравнения друг другу противоречат
Коэффициенты уравнений пропорциональны, также как и свободные члены
$\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}$
тогда система уравнений имеет бесчисленное множество решений, потому что одно из уравнений есть следствие другого