Стандартный вид многочлена

Калькулятор отображает многочлен нескольких переменных в стандартном виде. Есть возможность выбрать порядок одночленов.

Калькулятор далее представляет входной многочлен нескольких переменных в стандартном виде (раскрывает скобки, возводит в степень и приводит подобные члены). Переменные многочлена можно задать строчными английскими буквами или в виде мультииндекса (массива степеней переменных). Например, записи 3a^2bd +c и 3[2 1 0 1] + [0 0 1] эквивалентны. Вывод результата возможен в виде буквенной и индексной записях, либо в также в виде мультииндекса. Также выводится степень многочлена и вектор степеней одночленов. Коэффициенты результирующего многочлена рассчитываются в поле рациональных или вещественных чисел.

PLANETCALC, Стандартный вид многочлена

Стандартный вид многочлена

Результат
 
Степень полинома
 
Степени одночленов
 

Одночлен

Одночлен представляет собой произведение переменных xi в степени ai, где ai - целое неотрицательное число:
x^{\alpha}={x_1}^{\alpha_1}{x_2}^{\alpha_2}{x_3}^{\alpha_3} ... {x_n}^{\alpha_n}
Если переменных не так много, то вместо индексной записи можно записывать все переменные при помощи отдельных латинских букв:
например, x12x2 или x2y - эквивалентные записи одночлена двух переменных.
Вектор, составленный из показателей степеней одночлена называется мультииндекс:
\alpha=({\alpha_1},{\alpha_2},{\alpha_3}, ... ,{\alpha_n})
Пример: мультииндекс одночлена x2y3z = (2,3,1)
Степенью одночлена называется сумма всех показателей степеней переменных этого одночлена:
\mid \alpha \mid = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + ... + \alpha_n
Например, степень одночлена: x2y3z равна 2+3+1 = 6

Многочлен

Многочлен в стандартном виде это конечная сумма одночленов помноженных на коэффициенты:
f=\sum _I c_I {x_1}^{\alpha_1}{x_2}^{\alpha_2}{x_3}^{\alpha_3} ... {x_n}^{\alpha_n}
Степенью многочлена deg(f) называется максимальная степень |a| всех одночленов многочлена, с ненулевыми коэффициентами.
В отличие от многочленов одной переменной, многочлены многих переменных могут иметь несколько одночленов с одинаковой степенью.
В связи с этим возникает вопрос определения порядка на множестве членов многочлена.

Порядок членов многочлена1

Известно несколько способов задания порядка членов многочлена.

Лексикографический порядок

Наиболее простой порядок - лексикографический. В этом случае самая левая ненулевая координата вектора, полученного вычитанием мультииндексов сравниваемых одночленов положительна:
x^{\alpha}>_{lex}x^{\beta} \Leftarrow {\alpha}>{\beta}
Пример лексикографического сравнения:
x^{\alpha}=x^2y^3z >_{lex} x^{\beta}=x^2y^2z^3, \\\alpha-\beta=(2,3,1)-(2,2,3)=(0,1,-2)
Первый одночлен xα больше второго xβ, так как при вычитании мультииндексов первая ненулевая координата (0,1,-2) положительна.

Градуированный лексикографический порядок

Градуированный лексикографический порядок определяется в первую очередь степенью одночлена, если степень больше, то и одночлен считается больше. В случае равных степеней используется лексикографическое сравнение:
x^{\alpha}>_{grlex}x^{\beta} \Leftarrow \begin{cases} \mid{\alpha}\mid>\mid{\beta}\mid \\ \mid{\alpha}\mid=\mid{\beta}\mid,  {\alpha}>{\beta} \end{cases}
Примеры градуированного лексикографического сравнения:
а)
x^{\beta}=x^2y^2z^3 >_{grlex} x^{\alpha}=x^2y^3z , \\ \mid\beta\mid  = 7 > \mid\alpha\mid=6
Одночлен xβ больше чем xα, так как степень |β|=7 больше степени |α|=6.
б)
 x^{\alpha}=x^2y^3z >_{grlex} x^{\gamma}=xy^5  , \\ \mid\alpha\mid  =  \mid\gamma\mid=6, {\alpha}>{\gamma}
Одночлен xα больше чем xγ, так как степени равны, но лексикографически первый одночлен больше второго.

Градуированный обратный лексикографический порядок

Градуированный обратный лексикографический порядок сходен с предыдущим в том, что в первую очередь он определяется степенью одночлена, если степень больше, то и одночлен считается больше. В случае равных степеней, одночлен больше, если самая правая ненулевая координата вектора, полученного вычитанием мультииндексов сравниваемых одночленов отрицательна.
Примеры градуированного обратного лексикографического сравнения:
а)
x^{\beta}=x^2y^2z^3 >_{grevlex} x^{\alpha}=x^2y^3z , \\ \mid\beta\mid  = 7 > \mid\alpha\mid=6
Одночлен xβ больше чем xα, так как степень |β|=7 больше степени |α|=6.
б)
  x^{\gamma}=xy^5  >_{grevlex} x^{\alpha}=x^2y^3z , \\ \mid\alpha\mid  =  \mid\gamma\mid=6, {\gamma}-{\alpha}=(1,5,0)-(2,3,1)=(-1,2,-1)
Одночлен xγ больше чем xα, так как степени равны, но при вычитании мультииндексов самая правая ненулевая координата вектора разницы мультииндексов (-1,2,-1) отрицательна.


  1. Д. Кокс, О. Литл, Д. О'Ши Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Пер. с английского. М.: Мир 2000 

Ссылка скопирована в буфер обмена
PLANETCALC, Стандартный вид многочлена

Комментарии