Изоляция корней многочлена
Калькуляторы для изоляции вещественных корней полинома методом Штурма и непрерывных дробей (VAS-CF)
Из теоремы Абеля-Руффини, следует, что общее уравнение степени равной 5 или более невозможно решить в радикалах, как например решаются уравнения более низких степеней см. Решение квадратного уравнения, Кубическое уравнение, Решение уравнения 4-й степени.
Для решения уравнений 5-й степени и выше используют численные методы, например: Метод Ньютона, Метод бисекции, Метод хорд или Метод секущих.
Для корректной работы любого численного метода необходимо знать число корней и приближенно знать интервалы, в которых находятся корни уравнения. Калькуляторы представленные ниже, позволяют решить эту задачу. Оба калькулятора находят интервалы корней уравнения, но делают это различными способами.
Первый калькулятор использует более эффективный метод, разработанный Акритасом и Стржебонски. Метод вычисляет диапазоны вещественных корней при помощи непрерывных дробей, основываясь на теореме Винсента1. Метод известен под именем Непрерывные Дроби Винсента-Акритаса-Стржебонски (Vincent-Akritas-Strzebonski Continued Fractions или сокращенно VAS-CF).
Для корректной работы этого метода, входной полином должен быть свободен от квадратов. Для проверки соответствия вашего полинома этому условию используйте Разложение многочлена на свободные от квадратов множители.
Изоляция корней многочлена методом VAS-CF
Следующий калькулятор вычисляет ряд полиномов Штурма и подсчитывает количество изменений знаков значения полиномов в нескольких точках, что дает информацию о числе корней полинома в интервалах, определяемых этими точками, на основе теоремы Штурма2.
Ряд Штурма
-
A.G. Akritas, A.W. Strzebonski, P. S. Vigklas, Improving the Performance of the Continued Fractions Method Using New Bounds of Positive Roots, Nonlinear Analysis: Modelling and Control, 2008, Том. 13, N. 3, стр. 265–279 ↩
-
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979, стр. 521-525 ↩
Комментарии