homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightГеометрия

Развертка (выкройка) сферы

Развертка сферы на плоскость. Калькулятор вычисляет основные параметры развертки, а также выводит координаты точек для построения развертки одной доли.

Калькулятор рассчитывает параметры развертки сферы на плоскости. Картинка ниже иллюстрирует задачу.

path5612.png



Итак, нам известен радиус сферы r и число долей на которое мы хотим ее разбить n. Для описания развертки нам надо найти высоту «дольки» a, ширину «дольки» b, и радиус R большой дуги, на которой построена «долька». Формулы расчета и объяснения, как обычно, приведены под калькулятором.

PLANETCALC, Развертка сферы

Развертка сферы

Знаков после запятой: 2
Высота доли (а)
 
Ширина доли (b)
 
Высота сегмента (h)
 
Радиус дуги (R)
 
График

С высотой все понятно — это половина длины окружности, которую можно получить при сечении сферы плоскостью, проходящей через центр. Таким образом,
a=\pi r.
С шириной тоже все понятно — это часть той же окружности, полученная при разбиении всей окружности на n частей:
b=\frac{2\pi r}{n}
Радиус дуги можно вычислить по длине хорды (это а) и высоте сегмента (это h=b/2) по следующей формуле (см. Сегмент круга).
R=\frac{h}{2}+\frac{a^2}{8h}

В принципе, найдя a и b, считать радиус R даже не обязательно — его можно найти по построению, что иллюстрирует следующая картинка.

path5611.png



Для нахождения радиуса из точек G и H надо провести две окружности, так, чтобы они пересекались — прямая, проведенная через точки пересечения, пересечет среднюю линию в точке центра окружности, на дуге которой лежат G и H.

Несмотря на всю простоту, у метода есть один недостаток — а именно, ему нужно очень много места сбоку для радиуса, и чем больше число долек, на которое мы хотим разбить сферу, тем больше радиус большой дуги. Не везде будет возможность найти столько места и такой большой «циркуль», чтобы нарисовать дугу. Поэтому калькулятор, кроме расчета параметров «дольки», также рассчитывает координаты точек, лежащих на дуге — можно строить дуги дольки по точкам, не используя радиус. Для того, чтобы рассчитать координаты точек, надо пометить флажок «Сгенерировать точки развертки», и указать число точек — дуга будет разбита на заданное число точек с равным угловым шагом, как показано на рисунке:

path5614.png

Комментарии