homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематика

Определение ранга матрицы

Калькулятор, определяющий ранг матрицы

Ниже калькулятор, вычисляющий ранг матрицы. Под ним, как водится, немного теории.

PLANETCALC, Определение ранга матрицы

Определение ранга матрицы

Ранг матрицы
 
Расчет можно сохранить, чтобы использовать в другой раз, extension установить на веб-сайт или share поделиться с друзьями.

Update: Меня тут попросили сформулировать попроще, что такое ранг матрицы. Если попроще, то это максимальное число линейно-независимых строк/столбцов матрицы (число строк и число столбцов совпадает), то есть таких строк/столбцов, которые нельзя получить друг из друга элементарными преобразованиями.

Например, у этой матрицы
3 -1 1
6 -2 2
ранг равен 1, потому что вторая строка есть первая, умноженная на 2.

Итак, несколько определений.

Пусть дана матрица А размеров n x m и число k, не превосходящее наименьшего из чисел m и n. Выберем произвольно k строк матрицы и k столбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных k строк и k столбцов, называется минором порядка k матрицы A . (Что такое определитель матрицы можно посмотреть здесь Определитель (детерминант) матрицы).

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков миноров матрицы А, отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

Ненулевой минор наибольшего порядка называется базисным минором. Или, что тоже самое, минор матрицы А является ее базисным минором, если он не равен нулю, и его порядок равен рангу матрицы А.

Теорема о базисном миноре
Столбцы матрицы А, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из базисного минора.

Минор Mок матрицы А называют окаймляющим минором для минора М, если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матрицы А. Порядок окаймляющего минора Мок на единицу больше порядка минора М

Понятно, что ранг матрицы можно вычислить, перебирая все миноры, но в данном калькуляторе для вычисления ранга матрицы применяется метод окаймляющих миноров, основанный на следующей теореме.

Теорема: Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие его миноры равны нулю, то он является базисным. (А порядок, его, соответственно, равен рангу матрицы).

Метод окаймляющих миноров заключается в нахождении одного из базисных миноров матрицы и состоит в следующем:
Выбирается ненулевой минор первого порядка (ненулевой элемент матрицы). К очередному ненулевому минору последовательно добавляются такие строка и столбец, чтобы новый окаймляющий минор оказался ненулевым. Если этого сделать нельзя, то последний ненулевой минор является базисным.

Комментарии