Онлайн калькулятор: Трилатерация

Результатом решения задачи может быть один из трех вариантов:

Не существует ни одной точки, расстояния от которой до трех других соответствуют заданным
Существует ровно одна точка, расстояния от которой до трех других соответствуют заданным
Существует две точки, расстояния от которых до трех других соответствуют заданным

Формулы расчета и иллюстрации для каждого случая приведены под калькулятором.

Трилатерация

Координаты первой известной точки (x, y, z)

Расстояние до первой точки

Координаты второй известной точки (x, y, z)

Расстояние до второй точки

Координаты третьей известной точки (x, y, z)

Расстояние до третьей точки

Результат

Решение

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Трилатерация

Геометрическим местом точек, лежащих на заданном расстоянии r от точки с координатами (x, y, z) является поверхность сферы радиуса r с центром в точке (x, y, z). Таким образом с точки зрения геометрии проблема трилатерации заключается в нахождении координат пересечения трех сфер. Эти координаты находятся путем решения системы уравнений, построенных на следующих рассуждениях¹.
Каждая пара сфер пересекается по окружности. Центр ее находится на прямой, соединяющей центры сфер. Сама окружность лежит в плоскости, перпендикулярной данной прямой. Рассмотрим три сферы: сферу 1 с радиусом r₁ c центром в точке O₁(x₁, y₁, z₁), сферу 2 с радиусом r₂ c центром в точке O₂(x₂, y₂, z₂) и сферу 3 с радиусом r₃ c центром в точке O₃(x₃, y₃, z₃).
Уравнение плоскости, в которой лежит окружность, образованная пересечением сфер 1 и 2 выглядит следующим образом:
$(x_2-x_1)x+(y_2-y_1)y+(z_2-z_1)z=\frac{1}{2}(x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2+z_2^2-z_1^2+r_1^2-r_2^2)$
Уравнение плоскости, в которой лежит окружность, образованная пересечением сфер 1 и 3 выглядит следующим образом:
$(x_3-x_1)x+(y_3-y_1)y+(z_3-z_1)z=\frac{1}{2}(x_3^2-x_1^2+y_3^2-y_1^2+z_3^2-z_1^2+r_1^2-r_3^2)$
Уравнение плоскости треугольника, образованного центрами сфер:
$((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{1}))(x-x_{1})+((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}))(y-y_{1})+((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))(z-z_{1})=0$
Пересечение двух первых плоскостей дает прямую, перпендикулярную последней плоскости. Пересечение этой прямой с плоскостью треугольника - перпендикуляр из искомой точки пересечения сфер на плоскость треугольника, образованного центрами сфер. Эта точка пересечения принадлежит всем трем плоскостям, и ее координаты являются решением системы трех линейных алгебраических уравнений, приведенных выше.

Решив эту систему, получаем координаты точки O (x₀, y₀, z₀).
Тогда координаты точки пересечения трех сфер определяются следующими формулами:

${\begin{cases}x=x_{0}+k((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{1}))\\y=y_{0}+k((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}))\\z=z_{0}+k((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))\\k=\pm {\frac {\sqrt {r_{1}^{2}-|OO_{1}|^{2}}}{2S_{O_{1}O_{2}O_{3}}}}\\\end{cases}}$

Выражение для расчета k определяет количество решений. Если разность под квадратным корнем положительная, то мы имеем два решения (+k, -k) - две точки пересечения трех сфер, проиллюстрированных картинкой ниже