homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематика

Распределение Стьюдента

Вычисляет значение функции распределения и плотности вероятности для распределения Стьюдента. Вычисляет квантили Стьюдента для заданного количества степеней свободы и заданной вероятности.

Распределение Стьюдента возникает при оценке среднего нормально распределенной выборки в случаях когда количество экземпляров выборки мало и стандартное отклонение неизвестно. Впервые было исследовано Вильямом Госсетом в начале XX века, который выпускал свои работы под псевдонимом Стьюдент.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности распределения Стьюдента имеет вид:

f(t) = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})} {\sqrt{n\pi}\,\Gamma(\frac{n}{2})} \left(1+\frac{t^2}{n} \right)^{\!-\frac{n+1}{2}},\!

где n — количество степеней свободы и \Gamma - Гамма-функция

Функция распределения

Функция распределения может быть выражена через Гамма функцию и гипергеометрическую функцию следующим образом:

\tfrac{1}{2} + t\frac{\Gamma \left( \tfrac{1}{2}(n+1) \right)} {\sqrt{\pi n}\,\Gamma \left(\tfrac{n}{2}\right)}  {}_2F_1 \left ( \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}(n+1); \tfrac{3}{2};  -\tfrac{t^2}{n} \right)

Создано на PLANETCALC

Распределение Стьюдента

Знаков после запятой: 5
Плотность вероятности
 
Значение функции распределения
 
График плотности вероятности
Функция распределения

Квантильная функция

\alpha-квантилем распределения Стьюдента называется число t_{\alpha,n} такое, что F_n\left(t_{\alpha,n}\right) = 1- \alpha, где Fn — функция распределения Стьюдента.
Обратная (квантильная) функция распределения не имеет простого представления, результат ее вычисления, в литературе представлен в виде таблиц.

Калькулятор ниже вычисляет значение этой функции при помощи статистического пакета jStat:

Создано на PLANETCALC

Квантильная функция распределения Стьюдента

Знаков после запятой: 2
Квантиль
 

Комментарии