homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематика

Нормальное распределение

Строит график плотности вероятности и функции плотности распределения для нормального распределения.

Нормальное распределение — занимает особую роль в теории вероятностей. Это наиболее общее непрерывное распределение вероятностей, часто использующееся для представления случайных величин, закон распределения которых не известен.

Функция плотности вероятности

Плотность нормального распределения выражается функцией Гаусса:

f(x) = \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }

где μ — математическое ожидание,
σ — среднеквадратическое отклонение,
σ ² — дисперсия,
медиана и мода нормального распределения равны математическому ожиданию μ.

Калькулятор ниже вычисляет значения функции плотности вероятности и функции распределения в заданной точке при для нормального распределения, определяемого заданной дисперсией и математическим ожиданием:

Создано на PLANETCALC

Нормальное распределение

Знаков после запятой: 5
Плотность вероятности
 
Значение функции распределения
 
График плотности вероятности
Функция распределения

Функция распределения

Функция распределения для нормального распределения задается формулой:

\frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]

где, erf(x) — функция ошибок (Лапласа) или интеграл вероятности, определяемый как:

\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt

Квантильная функция

Квантильная функция нормального распределения выражается через обратную функцию ошибок:

F^{-1}(p) = \mu + \sigma\sqrt2\,\operatorname{erf}^{-1}(2p - 1)

p может принимать значения в диапазоне [0,1].

Квантильная функция стандартного нормального распределения (нормального распределения с σ =1, μ=0) упрощается до: \Phi^{-1}(p)\; =\; \sqrt2\;\operatorname{erf}^{-1}(2p - 1)
Эту функцию называют пробит функцией, применяется она в различных областях, для анализа зависимости качественных переменных от множества факторов.
Калькулятор ниже вычисляет значение квантильной функции нормального распределения ( можно задать дисперсию = 1 и мат ожидание=0, чтобы получить значение пробит функции).

Создано на PLANETCALC

Квантильная функция нормального распределения

Знаков после запятой: 2
Квантиль
 

Комментарии