homechevron_rightРаботаchevron_rightИнженерные

Зависимость температуры кипения воды от высоты над уровнем моря

Калькулятор рассчитывает температуру кипения воды в зависимости от температуры воздуха и высоты над уровнем моря

После создания пары калькуляторов на тему давления вообще (Конвертер единиц давления) и атмосферного давления в частности (Барометрическое нивелирование), захотелось узнать, как рассчитать температуру кипения воды в зависимости от высоты. Я откуда-то знал, что на высоте вода кипит при температуре ниже 100°С — а вот при какой точно температуре она кипит — вопрос.

Задача состоит из двух этапов — установить зависимость атмосферного давления от высоты и зависимость температуры кипения от давления. Начнем с последнего, как с более интересного.

Кипение представляет собой фазовый переход первого рода (вода сменяет агрегатное состояние из жидкого на газообразное).
Фазовый переход первого рода описывается уравнением Клапейрона:
\frac{dP}{dT}=\frac{q_{12}}{T(v_2-v_1)},
где
q_{12} — удельная теплота фазового перехода, которая численно равна количеству теплоты сообщаемой единице массы вещества для осуществления фазового перехода,
T — температура фазового перехода,
v_2 - v_1 — изменение удельного объема при переходе

Клаузиус упростил уравнение Клапейрона для случаев испарения и возгонки, предположив, что

  1. Пар подчиняется закону идеального газа
  2. Удельный объем жидкости много меньше удельного объема пара

Из пункта один следует, что состояние пара можно описать уравнением Менделеева-Клапейрона
PV=\frac{M}{\mu} RT,
а из пункта два — что удельным объемом жидкости v_1 можно пренебречь.

Таким образом, уравнение Клапейрона принимает вид
\frac{dP}{dT}=\frac{q_{12}}{Tv},
где удельный объем можно выразить через
v=\frac{V}{M}=\frac{RT}{P\mu},
и окончательно

\frac{dP}{dT}=\frac{q_{12}\mu P}{RT^2}

разделяя переменные, получим

\frac{1}{P}dP=\frac{q_{12}\mu }{RT^2}dT

Проинтегрировав левую часть от P_1 до P_2, а правую от T_1 до T_2, т.е. от одной точки (P_1,T_1) до другой точки (P_2,T_2), лежащей на линии равновесия жидкость-пар, получим уравнение

lnP_2-lnP_1=\frac{q_{12}\mu }{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})

называемое уравнением Клаузиуса-Клапейрона.

Собственно, это и есть искомая зависимость температуры кипения от давления.

Проведем еще пару преобразований
ln\frac{P_2}{P_1}=\frac{q_{12}\mu }{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})\frac{P_2}{P_1}=e^{\frac{q_{12}\mu }{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})},
здесь
\mu — молярная масса воды, 18 г/моль
R — универсальная газовая постоянная, 8.31 Дж/(мольК)
q_{12} — удельная теплота испарения воды <img src="/cgi-bin/mimetex.cgi?2.3
10%5E6" class="math" alt="2.3*10^6" /> Дж/кг

Теперь осталось установить зависимость атмосферного давления от высоты. Здесь мы воспользуемся барометрической формулой (другой у нас все равно нет):

P=P_0e^{\frac{-\mu gh}{RT}}

или
\frac{P}{P_0}=e^{\frac{-\mu gh}{RT}},
здесь
\mu — молярная масса воздуха, 29 г/моль
R — универсальная газовая постоянная, 8.31 Дж/(мольК)
g — ускорение силы тяжести, 9.81 м/(с
с)
T — температура воздуха

Значения, относящиеся к воздуху, пометим индексом v, к воде — h
Приравняв и избавившись от экспоненты, получим

-\frac{\mu_v gh}{RT_v}=\frac{q_{12}\mu_h }{R}(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T_h})

Ну и итоговая формула

T_h=\frac{T_0T_vq_{12}\mu_h}{q_{12}\mu_hT_v+\mu_vghT_0}

На самом деле реальное давление воздуха не следует барометрической формуле, так как при больших перепадах высот температуру воздуха нельзя считать постоянной. Кроме того, ускорение свободного падения зависит от географической широты, а атмосферное давление - еще и от концентрации паров воды. То есть значение по этой формуле мы получим приближенное. Поэтому ниже я включил еще один калькулятор, который использует использует формулу ln\frac{P_2}{P_1}=\frac{q_{12}\mu }{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}) для расчет температуры кипения в зависимости от давления воздуха в миллиметрах ртутного столба.

Калькулятор зависимости температуры кипения от высоты:

Создано на PLANETCALC

Зависимость температуры кипения воды от высоты над уровнем моря

Высота (метры)

Температура воздуха (Цельсий)

Знаков после запятой: 1
Температура кипения
 

Калькулятор зависимости температуры кипения от давления:

Создано на PLANETCALC

Зависимость температуры кипения воды от давления

Знаков после запятой: 1
Температура кипения
 

Комментарии